La energía de las secciones unitarias normales de la grassmanniana asociadas a productos cruz
Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020.
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2021
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| author | Moas, Ruth Paola |
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| description | Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020. |
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| id | rdu-unc.19767 |
| institution | Universidad Nacional de Cordoba |
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| publishDate | 2021 |
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| spelling | rdu-unc.197672023-08-31T13:18:16Z La energía de las secciones unitarias normales de la grassmanniana asociadas a productos cruz Moas, Ruth Paola Salvai, Marcos Luis Energía de secciones Sección verticalmente armónica Estructura compleja ortogonal Grupo de Lie excepcional Campo de Hopf Laplaciano burdo Division algebras General geometric structures on manifolds Homogeneous manifolds Differential geometric aspects of harmonic maps Harmonic maps Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020. publishedVersion Fil: Moas, Ruth Paola. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina. Sea G(k,n) la grassmanniana de subespacios orientados de Rn de dimensión k con su métrica riemanniana canónica. Estudiamos la energía de funciones que asignan a cada P en G(k,n) un vector unitario normal a P. Son secciones de un fibrado esférico E(k,n) sobre G(k,n). Los productos cruz doble y triple octoniónicos inducen de manera natural secciones de este tipo para k=2, n=7 y k=3, n=8, respectivamente. Probamos que son aplicaciones armónicas en E(k,n) munido de la métrica de Sasaki. Esto, junto con el resultado bien conocido de que los campos vectoriales de Hopf en esferas de dimensión impar son aplicaciones armónicas en su fibrado tangente unitario, nos permite concluir que todas las secciones normales unitarias de las grassmannianas asociadas a productos cruz son aplicaciones armónicas. También mostramos que estos fibrados esféricos no poseen secciones paralelas, que trivialmente habrían tenido energía mínima. En una segunda instancia analizamos la energía de aplicaciones que asignan a cada P en G(2,8) una estructura compleja ortogonal J(P) en el subespacio ortogonal a P. Estas asignaciones son secciones del subfibrado esférico unitario del fibrado vectorial sobre P en G(2,8) cuya fibra en cada P consiste esencialmente de las transformaciones antisimétricas del subespacio ortogonal a P. Probamos que la sección naturalmente inducida por el producto cruz triple octoniónico es una aplicación armónica. Comentamos la relación con la armonicidad de la estructura casi compleja canónica de la esfera de dimensión 6. Let G(k,n) be the Grassmannian of oriented subspaces of Rn of dimension k with its canonical symmetric Riemannian metric. We study the energy of maps assigning a unit vector normal to P to each P in G(k,n) . They are sections of a sphere bundle E(k,n) over G(k,n). The octonionic double and triple cross products induce in a natural way such sections for k=2, n=7 and k=3, n=8, respectively. We prove that they are harmonic maps into E(k,n) endowed with the Sasaki metric. This, together with the well-known result that Hopf vector fields on odd dimensional spheres are harmonic maps into their unit tangent bundles, allows us to conclude that all unit normal sections of the Grassmannians associated with cross products are harmonic. We also show that these sphere bundles do not have parallel sections, which trivially would have had minimum energy. In a second instance we analyze the energy of maps assigning an orthogonal complex structure J(P) on P to each P in G(2,8). They are sections of the unit sphere bundle over G(2,8) whose fiber at each P consists essentially of the skewsymmetric transformations on P?. We prove that the section naturally induced by the octonionic triple product is a harmonic map. We comment on the relationship with the harmonicity of the canonical almost complex structure of the sphere of dimension 6. publishedVersion Fil: Moas, Ruth Paola. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina. 2021-08-19T13:37:28Z 2021-08-19T13:37:28Z 2020 doctoralThesis http://hdl.handle.net/11086/19767 spa Atribución 4.0 Internacional http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ |
| spellingShingle | Energía de secciones Sección verticalmente armónica Estructura compleja ortogonal Grupo de Lie excepcional Campo de Hopf Laplaciano burdo Division algebras General geometric structures on manifolds Homogeneous manifolds Differential geometric aspects of harmonic maps Harmonic maps Moas, Ruth Paola La energía de las secciones unitarias normales de la grassmanniana asociadas a productos cruz |
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